Logique : le jeu de Nim et ses conséquences mathématiques

Ben oui, vous avez compris le truc...
En jouant sur table avec des petits bâtonnets, nous avons commencé par remarquer que celui qui pouvait laisser 4 bâtonnets à son adversaire était sûr de gagner. Ce dernier ne pouvant alors prendre que 1 , 2 ou 3 bâtonnets vous laisse finir victorieusement.

Ensuite, nous avons remarqué qu'avec 8 bâtonnets restants, la partie est gagnable à tous les coups. Car si l'adversaire en prend un, il suffit d'en prendre 3 pour se retrouver dans la situation décrite ci-dessus (reste 4). S'il en prend 2, on en prendra 2 aussi. S'il en prend 3, on en prendra 1.
Cela nous a permis de comprendre qu'il fallait toujours réaliser des "paquets" de 4 en complétant ce que faisait l'adversaire.

Mais au départ, il faut donc être celui qui commence la partie pour pouvoir en prendre 3.

Forts de nos découvertes, nous avons alors essayé ce jeu avec toutes sortes de variantes : changer le nombre de départ, changer le nombre de bâtonnets qu'on peut prendre... A chaque fois, il fallait retrouver le partage à faire "dans sa tête" pour s'assurer la victoire.

Il s'agissait donc de partager le nombre de bâtonnets et de déterminer quel est le reste. Dans l'exemple qu'on vient d'expliquer, il y en a 15 au départ. On fait donc 3 paquets de 4, il en reste 3.
Jean nous a dit que ça s'appelait "la division euclidienne"... euh bon, d'accord... et que ça pouvait s'écrire en langage mathématique : 15 = (3 x 4) + 3

Alors, on s'est mis à rechercher tous les partages possibles avec toutes sortes de nombres... Là, on est passé aux petits cubes, plus faciles à manipuler.
Et pour noter nos résultats, on a utilisé un tableur.

Voilà un exemple avec le nombre 29.

On a ainsi observé que certains nombres se partageaient facilement en parts égales tandis que d'autres rarement voire jamais.

Jean nous a dit que ceux qu'on ne pouvait pas partager s'appelaient "nombres premiers".

Ce travail de partage a été réalisé sur quelques nombres... c'est un travail un peu longuet !

On est passé à autre chose.

En faisant nos partages par paquets, on a vu qu'une des techniques les plus pratiques consistait à ranger les cubes en colonnes et en lignes. De temps en temps, nous obtenions des rangements en rectangles, sans reste.

Alors, on s'est mis à chercher les rectangles qu'on pouvait former avec certains nombres de cubes.

24 par exemple, ça marche vraiment bien.

Mais 13, 17... pas du tout, ce sont des nombres premiers. On ne peut les ranger que sur une ligne.

Dernière étape de notre travail : nous inscrivons dans une grille les nombres de cubes nécessaires pour former des rectangles constitués de lignes et de colonnes de 1 à 10.

ça paraît un peu long quand on commence mais là aussi, on s'est aperçu qu'il y avait des trucs pour aller plus vite... mais chut ! secret !