L'atelier de recherche mathématique du groupe Initiation

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Compter "en rond"

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Aujourd'hui, on est assis autour de la table ronde.
-- Tiens, combien sommes-nous ?
A. commence à compter :
-- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... euh... zut, je ne sais plus où j'ai commencé...!
-- Recommence en partant de B.
-- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... euh... mais moi, comment je fais ? je me compte ?
-- Ben oui !
-- Si on mettait un jeton devant chacun... après on compterait les jetons.
On a donc un rond de jetons verts, c'est plus facile, à condition de mettre une marque sur le jeton par lequel on commence. Finalement, avec Carine et Jean, on est 10.
Et maintenant, on va compter tous les jetons verts qui sont dans la boîte... on pose un jeton jaune sur celui qui sert de point de départ.
-- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... 32, 33, 34, 35. On en a 35 !
-- Et si on change de point de départ, c'est pareil ?
Ben oui, on recompte et c'est pareil, on trouve 35.
-- Où se trouve le jeton n°5, le 5ème jeton ?
C. se met à compter : le voilà  ! On le recouvre d'un jeton d'une autre couleur pour le reconnaître.
-- et le 9ème jeton ?
idem
On refait la manoeuvre avec des numéros de plus en plus grands !
A chaque fois, les "compteurs" repartent du jeton n°1
On recommence le jeu avec notre grand rond de jetons verts et un jeton "point de départ" couvert d'un jeton d'une autre couleur.
-- Où se trouve le 6ème jeton ?
D.se met à compter : le voilà !
On enlève le jeton de couleur repère du point de départ, le n°1.
-- Où se trouve le 15ème jeton ?
Hésitation... on n'a plus le point de départ.
Soudain, quelqu'un a une idée, il montre le 6ème jeton et commence à compter : "6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15... le voilà le 15ème"
Alors quand il s'agira de trouver le 21ème, pas besoin de tout recompter, on part de "15" et on continue jusqu'à 21.

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On pose deux feuilles sur la table. Une rouge et une jaune.
-- Comment pourrait-on partager les jetons verts pour en avoir autant sur chaque feuille ? Il faut en avoir le même nombre, que ce soit pareil...
E. met un jeton sur chaque feuille...
F. poursuit en posant un deuxième jeton sur chaque feuille.
Le mouvement est lancé, on continue la distribution : un ici, un là, un ici, un là... Ah ! il en reste plus qu'un !

--On ne peut pas le mettre, ça sera pas pareil, ça ne sera pas égal !

-- D'accord. Et maintenant, si on met 3 feuilles pour faire le partage en 3 parts égales...

Mêmes manoeuvres, même situation de reste.

-- Je mets 4 feuilles, sur chaque feuille, une petite poignée de jetons. Est-ce qu'il y en a autant sur chaque feuille ?

Chaque équipe les étale sur la feuille et donne son avis "au jugé".

Mais sur une feuille, quelqu'un a rangé les jetons en formant deux "petites maisons", deux carrés surmontés chacun d'un jeton. (ça ne fait 10, mais on ne compte pas, on regarde)

Les autres essaient de faire les mêmes figures... et n'y parviennent pas parce qu'il leur manque des jetons...

-- Où y en a-t-il le plus?

-- Là où sont les deux maisons complètes !

-- Qu'est-ce qu'il faut faire pour "égaliser", avoir autant de jetons sur chaque feuille ?

On fait divers changements et glissements de jetons mais ça ne marche pas tout à fait, sur une feuille, il y en a toujours un de moins ! Alors, il faut en enlever un de chacune des trois autres...

On vient donc de faire la division euclidienne de 35 par 4 ; ça fait 8 et il reste 3, ce qui s'écrit : 35 = (4 X 8) + 3

Mais ça, c'est bon pour ceux qui ne savent pas se servir de jetons !